Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點.
（Ⅰ） 求證：平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅱ） 求二面角B-EF-D的余弦值.

Answer 1

解法一：（1）設(shè)CE中點為M，連BM，MF 則BM⊥CE, 
 由 可知
∵DE⊥平面ACD∴DE⊥AF
即DE⊥BM∴BM⊥平面CDE,
又∵BM平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE
（2）過M作MD⊥EF于P，
∵BM⊥平面CDE
∴BD⊥EF
∠BPM即是二面角B-EF-D的平面角的補角
∵,  ∴.
即二面角B-EF-D的余弦值為


解法二：設(shè)AD=DE=2AB=2a.，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則.
∵F為CD的中點，∴.      
(1) 證明: ∵，  
∴，∴.          
∴平面CDE，又AF∥平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE.                                
(2) 解: 設(shè)平面的法向量，
由，可得：
  同理可求得平面的法向量
   ,
二面角B-EF-D的余弦值為