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設(shè)f（x）=ex（ax2+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（1）求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)θ∈[0，
π
2
]時(shí)，|f(cosθ)-f(sinθ)|＜2．
（Ⅰ）f'（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）．
由條件知，f'（1）=0，故a+3+2a=0?a=-1．
于是f'（x）=ex（-x2-x+2）=-ex（x+2）（x-1）．
故當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（-2，1）時(shí)，f'（x）＞0．
從而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）單調(diào)減少，在（-2，1）單調(diào)增加．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]單調(diào)增加，
故f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=e，
最小值為f（0）=1．
從而對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤e-1＜2．
而當(dāng)θ∈[0，
π
2
]時(shí)，cosθ，sinθ∈[0，1]．
從而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=
ex             (x＜0)
a+x        (x≥0)
當(dāng)a為何值時(shí)，函數(shù)f（x）是連續(xù)的．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=ex-ax-1
（1）若f（x）在[-∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，+∞]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=-x2+2x-2，在（1）的條件下，求證：g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•臨沂一模）設(shè)f（x）=ex（ax2+x+1）．
（I）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）x=1時(shí)，f（x）有極值，證明：當(dāng)θ∈[0，
π2
]時(shí)，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=ex（ax2+x+1）．
（1）若a≤0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
證明：當(dāng)θ∈[0，
π2
]時(shí)，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果在（a，b）（a＜b）上的函數(shù)f（x），對(duì)于?x1，x2∈（a，b）都有f（
x1+x2
2
）＜
1
2
[f(x1)+f(x2)]（x1≠x2），則稱f（x）在（a．b）上是凹函數(shù)，設(shè)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，其函數(shù)f′（x）在（a，b）上也可導(dǎo)，并記[f′（x）]′=f″（x）
（1）如果f（x）在（a，b）上f″（x）＞0，證明：f（x）在（a，b）上是凹函數(shù)
（2）若f（x）=（x2-2ax-a+a2）ex-lnx，用（1）的結(jié)論證明：當(dāng)a＜-2時(shí)f（x）在（0，+∞）上是凹函數(shù)．

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