Question

已知∈R，函數(shù)f（x）=x²-2alnx．
（1）當a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（2）若a＞0，試證明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“a=

1

2

”．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=2x-

2a

x

=2•

x2-a

x

，（x＞1），再討論（1）若a≤1，x＞1，（2）若a＞1，x＞1的情況，從而得出結論，
（Ⅱ）記g（x）=x²-2alnx-2ax，g′（x）=

2

x

（x²-ax-a），分別證明（1）充分性（2）必要性，從而得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x-

2a

x

=2•

x2-a

x

，（x＞1），
（1）若a≤1，x＞1，則f′（x）＞0，
∵f（x）在[1，+∞）上連續(xù)，
∴f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當a≤1，x≥1時，f（x）_min=f（1）=1，
（2）若a＞1，x＞1，令f′（x）=0，得x=

a

，
當x∈（1，

a

）時，f′（x）＜0，f（x）在[1，+∞）上連續(xù)，f（x）在[1，

a

）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
當x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在[

a

，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
則x=

a

時，f（x）取得最小值．
∴當a＞1，x≥1時，f（x）_min=a-alna，
∴g（a）=

1              (a≤1) a-alna，   (a＞1)

，
（Ⅱ）記g（x）=x²-2alnx-2ax，
g′（x）=

2

x

（x²-ax-a），
（1）充分性：若a=

1

2

，則g（x）=x²-lnx-x，
g′x）=

1

x

（2x+1）（x-1），
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當x=1時，g（x）_min=g（1）=0，即g（x）≥0，當且僅當x=1時取等號．
∴方程f（x）=2ax有唯一解．
（2）必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=

a- a2+4a

2

（舍），x₂=

a+ a2+4a

2

，
當x∈（0，x₂ ）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂ ）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當x=x₂時，g′（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂ ），
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

，即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax2-a=0

，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
設函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解為x₂=1，即

a+ a2+4a

2

=1，解得a=

1

2

，
由（1）、（2）知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要條件是“a=

1

2

”．

點評：本題考察了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，充分條件，必要條件的證明，本題是一道綜合題．