Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，
(Ⅰ)設(shè)P為AC的中點．證明：在AB上存在一點Q，使PQ⊥OA，并計算的值；
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

解：(Ⅰ)在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N，連結(jié)NC， 又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC， ∵NC平面ONC， ∴OA⊥NC， 取Q為AN的中點，則PQ∥NC， ∴PQ⊥OA，在等腰△AOB中，∠AOB=120°， ∴∠OAB=∠OBA=30°， 在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴， 在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO， ∴NB=ON=AQ， ∴。
(Ⅱ)連結(jié)PN，PO， 由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB， 又ON平面OAB，∴OC⊥ON， 又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC， ∴OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影， 在等腰Rt△COA中，P為AC的中點， ∴AC⊥OP，根據(jù)三垂線定理，知AC⊥NP， ∴∠OPN為二面角O-AC-B的平面角， 在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴， 在Rt△AON中，， ∴在Rt△PON中，， ∴。