Question

20．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1
（Ⅰ）求證：平面BCC₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）在線段C₁D₁上是否存在一點(diǎn)P，使AP∥平面BDC₁．若存在，請確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BCC₁⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可得到結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳A₁⊥底面ABCD，所以CC₁⊥底面ABCD，
因?yàn)锽D?底面ABCD，
所以CC₁⊥BD，…（2分）
因?yàn)榈酌鍭BCD是梯形，AB∥DC，∠BAD=90°，
AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，
因?yàn)锳B=1，所以AD=1，CD=2
所以BD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
所以在△BCD中，BD²+BC²=CD²，
所以∠CBD=90°，
所以BD⊥BC，…（4分）
又因?yàn)镃C₁⊥BD，
所以BD⊥平面BCC₁，
因?yàn)锽D?平面BDC₁，
所以平面BCC₁⊥平面BDC₁，…（6分）
（Ⅱ）存在點(diǎn)P是C₁D₁的中點(diǎn)，使AP∥平面BDC₁ …（8分）
證明如下：取線段C₁D₁的中點(diǎn)為點(diǎn)P，連結(jié)AP，
所以C₁D₁∥CD，且C₁P=$\frac{1}{2}CD$
因?yàn)锳B∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
所以C₁P∥AB，且C₁P=AB
所以四邊形ABC₁P是平行四邊形．…（10分）
所以AP∥CB₁．
又因?yàn)锽C₁?平面BDC₁，AP?平面BDC₁，
所以AP∥平面BDC₁．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查面面垂直和線面平行的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，考查學(xué)生的推理能力．