Question

7．設(shè)a，b是正實數(shù)，且a+b=1，記$x=ab，\;y=（{a+\frac{1}{a}}）（{b+\frac{1}}）$．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式f（x），并求其定義域I；
（2）若函數(shù)g（x）=$\sqrt{k•f（x）-1}$在區(qū)間I內(nèi)有意義，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先化簡函數(shù)，然后利用x=ab表示成f（x）的形式，利用換元法即可求出函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)函數(shù)成立的條件轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用參數(shù)分離法進行求解即可．

解答 解：（1）y=ab+$\frac{a}$+$\frac{a}$+$\frac{1}{ab}$=ab+$\frac{{a}^{2}+^{2}}{ab}$+$\frac{1}{ab}$=ab+$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$+$\frac{1}{ab}$=ab+$\frac{1-2ab}{ab}$+$\frac{1}{ab}$
=ab+$\frac{2}{ab}$-2=x+$\frac{2}{x}$-2，
∵a，b是正實數(shù)，且a+b=1，
∴x=ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
即0＜x≤$\frac{1}{4}$，
則f（x）的定義域為（0，$\frac{1}{4}$]．
（2）若函數(shù)g（x）=$\sqrt{k•f（x）-1}$在區(qū)間I內(nèi)有意義，
則kf（x）-1≥0，
∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{2}{x}$-2，在（0，$\frac{1}{4}$]上單調(diào)遞減，
∴f（x）≥f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{25}{4}$，
則kf（x）-1≥0等價為k≥$\frac{1}{f（x）}$，
∵f（x）≥$\frac{25}{4}$，
∴0＜$\frac{1}{f（x）}$≤$\frac{4}{25}$，
即k≥$\frac{4}{25}$．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)定義域 的求解和應(yīng)用，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．