Question

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點． (1) 求直線AC與PB所成角的余弦值 (2) 在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥平面PAC，并求出N點到AB和AP的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：方法一　如圖所示，(1)設(shè)AC∩BD=O連結(jié)OE，則OE∥PB， 　　∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角． 　　在△AOE中，AO=1，OE=PB=， 　　AE=PD=， 　　∴cos∠EOA==． 　　即AC與PB所成角的余弦值為． 　　方法二　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)、B(，0，0)、C(，1，0)、D(0，1，0)、 P(0，0，2)、E(0，，1)， 　　從而=(，1，0)，=(，0，－2)． 　　設(shè)與的夾角為θ，則cosθ===， 　　∴AC與PB所成角的余弦值為．

(2)

方法一：在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則∠ADF=． 　　連結(jié)PF，則在Rt△ADF中，DF==，AF=ADtan∠ADF=． 　　設(shè)N為PF的中點，連結(jié)NE，則NE∥DF． 　　∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥平面PAC從而NE⊥平面PAC 　　∴N點到AB的距離－AP－1，N點到AP的距離=AF=． 　　方法二：由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為(x，0，z)，則=(－x，，1－z)．由NE⊥平面PAC，可得 　　即化簡得∴ 　　即N點的坐標(biāo)為(，0，1)，從而N點到AB、AP的距離分別為1，． 　　點評：本題關(guān)鍵是構(gòu)造過PD的平面與平面PAC垂直．由PA⊥底面，故只需作DF⊥AC，得DF⊥平面PAC．