Question

在△ABC中，已知a=30，S_△ABC=105，其外接圓的半徑R=17，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：在三角形ABC中，由a和R的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，由于A為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，根據(jù)sinA的值和三角形的面積S的值，利用三角形的面積公式即可得到bc的值，然后利用余弦定理表示出a²，化簡后把bc的值代入即可求出b+c的值，進而求出三角形的周長．

解答： 解：∵在△ABC中，A為銳角，a=30，外接圓半徑R=17，
∴

a

sinA

=2R=34，（2分）
∴sinA=

15

17

，cosA=

1-sin2A

=

8

17

，
∵S_△ABC=105，即105=

1

2

bcsinA，
整理得：bc=238，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA），
∴（b+c）²=a²+2bc（1+cosA）=900+2×238（1+

8

17

）=1600，
開方得：b+c=40，
又a=30，
則△ABC的周長為70．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．