Question

函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象過點（2，0），
（Ⅰ）求a的值并判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）討論關于x的方程|f（x）|=t+4x-x²（t為常數(shù)）的正根的個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先依題意有，從而得出函數(shù)的解析式：，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義：由f（-x）=-f（x）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，等價于對x∈[2，3]恒成立，得，下面研究，x∈[2，3]的單調性即可得出實數(shù)m的取值范圍；
（III）設y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²結合圖象得出結論：①當t＜-4時，正根的個數(shù)為0；②當t=-4時，正根的個數(shù)為1；③當t＞-4時，正根的個數(shù)為2．
解答：解：（Ⅰ）依題意有，
此時，其定義域為x|x≠0，由f（-x）=-f（x）即為奇函數(shù)；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=lg[f（x）+2^x-m]在區(qū)間[2，3]上有意義，即對x∈[2，3]恒成立，得
令，x∈[2，3]先證其單調遞增：
任取2≤x₁＜x₂≤3，
則
因為2≤x₁＜x₂≤3，則h（x₂）-h（x₁）＞0，
故h（x）在x∈[2，3]遞增，
則的最小值h（2）=4，∴m＜4；
（III）設y₁=|f（x）|，y₂=t+4x-x²
結合圖象得：
①當t＜-4時，正根的個數(shù)為0；
②當t=-4時，正根的個數(shù)為1；
③當t＞-4時，正根的個數(shù)為2．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．