Question

 

已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為、，橢圓上的點(diǎn) 滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）自定點(diǎn)作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），記，求的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）設(shè)，其中，于是，，則由可得，

所以．………………………………………………………2分

又點(diǎn)在橢圓上，所以，即．…………1

又，所以，．…………2

2代入1整理得，解得（舍），或．

所以，．

于是，所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．………………4分

（2）由題可知，．

于是，由，則，

（I）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，

容易求得，，

所以，

所以，此時(shí)．……………………5分

（II）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為．3

設(shè)點(diǎn)，將3代入消去得：

．

由解得．

，…………4

，……………5…………………………………………7分

又，所以，所以有

，…………………6

將6代入4得，…………7

將6代入5得，………………8

聯(lián)立78，消去得，

所以，，化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?sub>，，所以，

所以，且．………………9分

設(shè)，則在上為減函數(shù)，又，

所以．（此處也可以通過解一元二次不等式求出的取值范圍）

綜合（I）、（II）可得，的取值范圍是．…………10分