Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

3

2

．
（1）若點P（2，1）在橢圓上，求橢圓的方程；
（2）若存在過點A（1，0）的直線l，使點C（2，0）關于直線l的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

3

2

，點P（2，1）在橢圓上，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）求出C（2，0）關于直線l的對稱點為C′的坐標，代入橢圓方程，可得b²k⁴+（2b²-4）k²+（b²-1）=0，設k²=t，因此原問題轉化為關于t的方程b²t²+（2b²-4）t+（b²-1）=0有正根，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

3

2

，點P（2，1）在橢圓上，
∴

a2-b2 a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1

，
∴a²=8，b²=2，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）依題意，直線l的斜率存在且不為0，則直線l的方程為：y=k（x-1）．
設點C（2，0）關于直線l的對稱點為C′（a，b），則

b 2 =k( a+2 2 -1) b a-2 •k=-1

，
∴a=

2

k2+1

，b=

2k

k2+1

，
若點C′（a，b）在橢圓

x2

4b2

+

y2

b2

=1上，則

( 2 k2+1 )2

4b2

+

( 2k k2+1 )2

b2

=1，
∴b²k⁴+（2b²-4）k²+（b²-1）=0，
設k²=t，因此原問題轉化為關于t的方程b²t²+（2b²-4）t+（b²-1）=0有正根．
①當b²-1＜0時，方程一定有正根；
②當b²-1≥0時，則有

(2b2-4)2-4b2(b2-1)≥0 2b2-4＜0

，
∴b²≤

4

3

∴綜上得0＜b≤

2 3

3

．
又橢圓的焦距為2c=2

3

b，
∴0＜2c≤4．
故橢圓的焦距的取值范圍是（0，4]

點評：本題考查橢圓的方程與性質，考查點與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．