Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b_n+2﹣2b_n+1+b_n=0（n∈N*），且b₃=11，前9項(xiàng)和為153．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對任意正整數(shù)n，
T_n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．

Answer 1

解：（1）因?yàn)镾_n=n²+n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=Sn﹣S_n﹣1=n+5，
當(dāng)n=1時(shí)a₁=S₁=6，滿足上式，
所以a_n=n+5，
又因?yàn)閎_n+2﹣2b_n+1+b_n=0，
所以數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
由S₉==153，b₃=11，
故b₇=23，
所以公差d==3，
所以b_n=b₃+（n﹣3）d=3n+2，
（2）由（1）知
c_n===（），
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=，又因?yàn)門_n+1﹣T_n=﹣=＞0，
所以{T_n}單調(diào)遞增，
故（T_n）_min=T₁=，
而T_n=＜=，
故≤T_n＜，
所以對任意正整數(shù)n，T_n∈[a，b]時(shí)，a的最大值為，b的最小值為，
故（b﹣a）_min=﹣=．