Question

已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），設h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函數h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函數h（x）的定義域，即是使得函數f（x），g（x）都有意義的條件，從而可得，利用函數奇偶函數的定義檢驗h（-x）與h（x）的關系可判斷函數的奇偶性
（2）由f（3）=2得a=2，根據對數的運算性質可得h（x），代入解不等式即可
解答：解：（1）由題意，得
解得-1＜x＜1
故h（x）的定義域為（-1，1）．（3分）
h（x）的定義域為（-1，1），關于數0對稱，
且h（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）
故h（x）為奇函數．（7分）
（2）由f（3）=2得a=2（9分）

即，
解得-1＜x＜0
∴所求的x的集合{x|-1＜x＜0}（14分）
點評：本題綜合考查了對數函數的定義域的求解，對數的運算性質，函數奇偶性的判斷，對數不等式的解法，牽涉的知識比較多，但只要掌握基本知識、基本方法，問題就能迎刃而解．