Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₂=3，a₆=243，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=3^n-1，數(shù)列{log₃a_n}的前n項(xiàng)的和為$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．

Answer 1

分析 通過等比數(shù)列{a_n}的概念可知q⁴=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$，進(jìn)而可知a_n=a₂•q^n-2=3^n-1，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知log₃a_n=n-1，通過等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂=3，a₆=243，
∴q⁴=$\frac{{a}_{6}}{{a}_{2}}$=$\frac{243}{3}$=81，
又∵a_n＞0，
∴q=3，
∴a_n=a₂•q^n-2=3•3^n-2=3^n-1，
∴l(xiāng)og₃a_n=log₃3^n-1=n-1，
∴數(shù)列{log₃a_n}的前n項(xiàng)的和為：$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$，
故答案為：${3^{n-1}}，\frac{{{n^2}-n}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，涉及對(duì)數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．