Question

設(shè)點A和B為拋物線y²=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.

Answer 1

點M的軌跡是以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.

解析:

點A、B在拋物線y²=4px上，

設(shè)A(，y_a)，B（，y_b），OA、OB的斜率分別為k_OA、k_OB，

∴k_OA=，k_OB=．

由OA⊥OB，得k_OA·k_OB==-1.                                             ①

由點A在AB上，得直線AB的方程為

(y_a＋y_b)（y-y_a）=4p（x-）.                                             ②

由OM⊥AB，得直線OM方程為y=x.                                     ③

設(shè)點M(x,y)，則x、y滿足②③兩式，將②式兩邊同時乘以-，并利用③式

整理得

y_A²+yy_A-(x²＋y²)=0.                                                        ④

由③④兩式得-+y_By_A-(x²＋y²)=0，

由①式知，y_Ay_B=-16p²，

∴x²＋y²-4px=0．

∵A、B是原點以外的兩點，∴x≠0．

∴點M的軌跡是以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標原點.