Question

已知f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx，
（1）當a=b=時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間；
（2）若b=2且h（x）=f（x）-g（x）存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當 時，
則 ，
∵h（x）的定義域為（0，+∞），令h'（x）=0，得x=1
∴當0＜x＜1時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上是單調遞增；
當x＞1時，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是單調遞減；
所以，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1）；單調遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）b=2時，
則
因為函數(shù)h（x）存在單調遞減區(qū)間，
所以h′（x）＜0有解．
即當x＞0時，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①當a=0時，y=2x-1為單調遞增的一次函數(shù)，y=2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
②當a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解．
③當a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，而y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解，
則△=4+4a＞0，且方程y=ax²+2x-1=0至少有一個正根，
此時，-1＜a＜0
綜上所述，a的取值范圍為（-1，+∞）
分析：（1）將a、b的值代入，可得 ，求出其導數(shù)，再在區(qū)間（0，∞）上討論導數(shù)的正負，可以得出函數(shù)h（x）單調區(qū)間；
（2）先求函數(shù)h（x）的解析式，因為函數(shù)h（x）存在單調遞減區(qū)間，所以不等式h'（x）＜0有解，通過討論a的正負，得出h′（x）＜0有解，即可得出a的取值范圍．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、導數(shù)的幾何意義，函數(shù)與方程的討論等，屬于難題．