Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，若該橢圓上存在一點(diǎn)P使得∠F₁PF₂=60°，則橢圓離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值，由此可得結(jié)論．

解答：解：如圖，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓弧向短軸端點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，P對兩個(gè)焦點(diǎn)的張角∠F₁PF₂漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P₀處時(shí)，張角∠F₁PF₂達(dá)到最大值．由此可得：
∵存在點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，使得∠F₁PF₂=60°，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂≥60°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂≥30°，
所以P₀O≤

3

OF₂，即b≤

3

c，
∴a²-c²≤3c²，可得a²≤4c²，
∴

c

a

≥

1

2

，
∵0＜e＜1，
∴

1

2

≤e＜1．
故答案為：

1

2

≤e＜1．

點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的三角函數(shù)和橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．