Question

17.如圖，在直三棱柱ABO－A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是線段A′B′的中點，P是側(cè)棱BB′上的一點.若OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

17.［解法一］如圖，以O點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意，有B（3，0，0），D（，2，4）.

設(shè)P（3，0，z），則＝｛－，2，4｝，＝｛3，0，z｝.

∵BD⊥OP，∴·＝－＋4z＝0.

z＝

∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP與底面AOB所成的角.

tanPOB＝，∴∠POB＝arctan.

 

［解法二］取O′B′中點E，連結(jié)DE、BE，則：

DE⊥平面OBB′O′，

∴BE是BD在平面OBB′O′內(nèi)的射影.

又∵OP⊥BD.

由三垂線定理的逆定理，得OP⊥BE.

在矩形OBB′O′中，易得Rt△OBP∽Rt△BB′E

∴＝，得BP＝.

（以下同解法一）.