Question

14．設(shè)集合M是實(shí)數(shù)集R的一個(gè)子集，如果點(diǎn)x₀∈R，滿足：對任意?＞0，都存在x∈M，使得0＜|x-x₀|＜?，稱x₀為集合M的一個(gè)“聚點(diǎn)”，若有集合：①有理數(shù)；②{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}；③{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}；④{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}．
其中以0為“聚點(diǎn)”的集合是①③．（寫出所有符合題意的結(jié)論序號）

Answer 1

分析 ①定義[x]為不大于x的最大整數(shù)，從而可得0＜|$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$-0|＜?，從而確定0為有理數(shù)集的“聚點(diǎn)”；
②由cos$\frac{π}{2}$＜cos$\frac{π}{3}$＜cos$\frac{π}{4}$＜cos$\frac{π}{5}$＜…＜cos$\frac{π}{n+1}$可得0不是集合{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}的“聚點(diǎn)”，
③由sinx＜x，x∈（0，1）知對任意?＞0，0＜|sin?|＜?，從而確定；
④由$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜$\frac{3}{4}$＜…＜$\frac{n}{n+1}$知0不是集合{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}的“聚點(diǎn)”．

解答 解：①定義[x]為不大于x的最大整數(shù)，
則對任意?＞0，$\frac{1}{?}$＜$[\frac{1}{?}]$+2，
則?＞$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$，
取有理數(shù)x=$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$即可得，
0＜|$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$-0|＜?，
故0為有理數(shù)集的“聚點(diǎn)”；
②{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}中的元素，
cos$\frac{π}{2}$＜cos$\frac{π}{3}$＜cos$\frac{π}{4}$＜cos$\frac{π}{5}$＜…＜cos$\frac{π}{n+1}$，
即0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cos$\frac{π}{5}$＜…＜cos$\frac{π}{n+1}$，
故0不是集合{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}的“聚點(diǎn)”，
③∵sinx＜x，x∈（0，1），
∴對任意?＞0，0＜|sin?|＜?，
∴0為集合{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}的“聚點(diǎn)”；
④∵$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜$\frac{3}{4}$＜…＜$\frac{n}{n+1}$，
∴0不是集合{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}的“聚點(diǎn)”，
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查了學(xué)生對新定義的接受能力與應(yīng)用能力．