Question

下列命題正確的有

 

．
①“一元二次方程x²+x+m=0”有實數解的一個充分不必要條件是m＜-

1

4

②命題“x＞0且y＞0，則x+y＞0”的否命題是假命題
③若不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]，則不等式x²-bx-a＜0的解集（2，3）
④數列{a_n}滿足：a_n=

(3-a)n-3(n≤7) an-6(n＞7)

若{a_n}是遞增數列，則a∈[

9

4

，3）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題

分析：①中由m＜-

1

4

推導出一元二次方程x²+x+m=0有實數解，但方程x²+x+m=0有實數解時，m＜-

1

4

不一定成立，由此判定命題是否正確；
②中寫出命題的否命題，通過舉反例說明它的否命題不正確即可；
③中由不等式ax²-bx-1≥0的解集求出a、b的值，從而求出不等式x²-bx-a＜0的解集；
④中由數列{a_n}是遞增數列，得出不等式組，解出a的取值范圍．

解答： 解：對于①，當m＜-

1

4

時，1²-4×1×m=1-4m＞2＞0，∴“一元二次方程x²+x+m=0”有實數解，充分性成立；
當一元二次方程x²+x+m=0有實數解時，1²-4×1×m=1-4m＞0，∴m＜

1

4

，∴m＜-

1

4

不一定成立，即必要性不成立；
∴命題①正確．
對于②，命題“x＞0且y＞0，則x+y＞0”的否命題是“若x+y＞0，則x＞0且y＞0”，
它是假命題，如x=1，y=0時命題不成立；
∴命題②正確．
對于③，當不等式ax²-bx-1≥0的解集是[-

1

2

，-

1

3

]時，由一元二次不等式與對應的方程的關系知：a=-6，b=5，
∴不等式x²-bx-a＜0即為x²-5x+6＜0，它的解集是（2，3）；
∴命題③正確．
對于④，∵數列{a_n}滿足a_n=

(3-a)n-3(n≤7) an-6(n＞7)

，當{a_n}是遞增數列時，

a＞1 3-a＞0 a2＞7(3-a)-3

解得a∈（2，3）；
∴命題④錯誤．
綜上，以上正確的命題是①②③；
故答案為：①②③．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了充分與必要條件的判定，四種命題之間的關系，一元二次不等式與對應的方程之間的關系，數列的有關概念等問題，解題時應對每一個命題仔細分析，以便得出正確的選擇．