Question

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)指出函數(shù)的遞增，遞減區(qū)間和極大極小值：
（1）f（x）=lnx+x；
（2）g（x）=x（x+1）（x-3）；
（3）g（x）=x+2sinx；
（4）u（x）=5-3x+2x²-x³．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對函數(shù)求導(dǎo)后，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而寫出極大值及極小值．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+1=

x+1

x

，
∵函數(shù)的定義域是（0，+∞），
∴在定義域上恒有f′（x）＞0，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間是（0，+∞），函數(shù)無極值．
（2）∵g（x）=x（x+1）（x-3）=x³-2x²-3x，
∴g′（x）=3x²-4x-3，
由g′（x）=3x²-4x-3=0得，x=

2± 13

3

，
∴x＜

2- 13

3

或x＞

2+ 13

3

時，g′（x）＞0，

2- 13

3

＜x＜

2+ 13

3

時，g′（x）＜0，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

2- 13

3

）和（

2+ 13

3

，+∞），
遞減區(qū)間是（

2- 13

3

，

2+ 13

3

），
∴當(dāng)x=

2- 13

3

時，函數(shù)有極大值

(2- 13 )(5- 13 )(- 13 -7)

27

，
當(dāng)x=

2+ 13

3

時，函數(shù)有極小值是

(2+ 13 )(5+ 13 )( 13 -7)

27

．
（3）g′（x）=1+2cosx=0得cosx=-

1

2

，
∴x∈（2kπ，

2π

3

+2kπ）和（

4π

3

+2kπ，2π+2kπ）時，g′（x）＞0，
x∈（

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ）時，g′（x）＜0，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是∈（2kπ，

2π

3

+2kπ）和（

4π

3

+2kπ，2π+2kπ），遞減區(qū)間是∈（

2π

3

+2kπ，

4π

3

+2kπ），
當(dāng)x=

2π

3

+2kπ時，函數(shù)有極大值

3

+

2π

3

+2kπ，
當(dāng)x=，

4π

3

+2kπ時，函數(shù)有極小值-

3

+

4π

3

+2kπ．
（4）u（x）=5-3x+2x²-x³．
∴u′（x）=-3+4x-3x²=0得x=

2± 5

3

，
∴當(dāng)x∈（-∞，

2- 5

3

）和（

2+ 5

3

，+∞）時，u′（x）＜0，
當(dāng)x∈（

2- 5

3

，

2+ 5

3

）時，u′（x）＞0，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

2- 5

3

，

2+ 5

3

），遞減區(qū)間是（-∞，

2- 5

3

）和（

2+ 5

3

，+∞）．
∴當(dāng)x=

2- 5

3

時，函數(shù)有極大值u（

2- 5

3

），
當(dāng)x=

2+ 5

3

時，函數(shù)有極小值u（

2+ 5

3

）．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值等知識，考查學(xué)生運用公式對函數(shù)的求導(dǎo)的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．