Question

【題目】已知橢圓，離心率，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè) ，根據(jù)三點(diǎn)共線斜率相等，可分別求出 的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可將用 表示，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上消去 即可得結(jié)果.

試題解析：（1）依題意得，設(shè)，則，

由點(diǎn)在橢圓上，有，解得，則，

橢圓C的方程為：

設(shè)，，，則，由APM三點(diǎn)共線，則有，即，解得，則，

由BPN三點(diǎn)共線，有，即，解得，

則

=

又點(diǎn)P在橢圓上，滿足，有，

代入上式得

=，

可知為定值。