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若A、B與 F1、F2分別為橢圓C：
x2
5
+y2=1的兩長軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，橢圓C上的點(diǎn)P使得∠F1PF2=
π
2
，則tan∠APB=
-
5
-
5
．
分析：由橢圓的定義和勾股定理，算出點(diǎn)P在第一象限時的坐標(biāo)為P（
15
2
，
1
2
），再由直線PA、PB的傾斜角與∠APB的關(guān)系，結(jié)合斜率公式和正切的差角公式，即可算出tan∠APB的值．
解答：解：根據(jù)題意，∠APB的大小與點(diǎn)P在哪一象限無關(guān)，因此以點(diǎn)P在第一象限為例，設(shè)P（m，n）
∵|PF1|+|PF2|=2a=2
5
，|PF1|2+|PF2|2=4c2=16
∴|PF1|•|PF2|=
1
2
[（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|2+|PF2|2）]=2
由此可得，△PF1F2的面積S=
1
2
|PF1|•|PF2|=1
又∵△PF1F2的面積S=
1
2
|F1F2|•n=1
∴n=
2
2c
=
1
2
，代入橢圓方程可得m=
15
2
，得P（
15
2
，
1
2
）
因此：kPA=
1
2
-0
15
2
+
5
=
1
15
+2
5
，kPB=
1
2
-0
15
2
-
5
=
1
15
-2
5

∵∠APB等于PB的傾斜角減去PA的傾斜角
∴tan∠APB=
kPB-kPA
1+k PBkPA
=
1
15-2
5
-
1
15
+2
5
1+
1
15
-2
5
×
1
15
+2
5
=-
5

故答案為：
5
點(diǎn)評：本題給出橢圓上一點(diǎn)對兩個焦點(diǎn)所張的角為直角，求該點(diǎn)與長軸兩個頂點(diǎn)所張角的正切值，著重考查了直線的斜率公式、兩角差的正切公式和橢圓的幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點(diǎn)F且傾斜角為
π
3
的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，且3
AF
=5
FB
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△ABF1的面積小于等于
8
3
5
（F1為左焦點(diǎn)），求弦AB長度的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
．
（1）若圓（x-2）2+（y-1）2=
20
3
與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓的方程；
（2）設(shè)L為過橢圓右焦點(diǎn)F的直線，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且L的傾斜角為60°．求
|MF|
|NF|
的值．
（3）在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)R在直線l：x-
3
y+8=0上．當(dāng)∠F1RF2取最大值時，求
|RF1|
|RF2|
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設(shè)
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當(dāng)|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
（3）設(shè)F1為（2）中所求雙曲線的左焦點(diǎn)，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
2
2
，左、右焦點(diǎn)分別為
F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P（2，
3
），點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l1：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F2M與F2N的傾斜角分別為α，β，且α+β=π，求證：直線l1經(jīng)過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）若過點(diǎn)B（2，0）的直線l2（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），△OBE與△OBF的面積之比為
1
2
，求直線l2的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中，正確的有
 
．
①若點(diǎn)P（x0，y0）是拋物線y2=2px上一點(diǎn)，則該點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離是|PF|=x0+
p
2
；
②設(shè)F1、F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩個焦點(diǎn)，P（x0，y0）為雙曲線上一動點(diǎn)，∠F1PF2=θ，則△PF1F2的面積為b2tan
θ
2
；
③設(shè)定圓O上有一動點(diǎn)A，圓O內(nèi)一定點(diǎn)M，AM的垂直平分線與半徑OA的交點(diǎn)為點(diǎn)P，則P的軌跡為一橢圓；
④設(shè)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則
1
|AF|
、
1
p
、
1
|BF|
成等差數(shù)列．

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