Question

．（本題滿分15分）已知，函數(shù)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） ．（Ⅱ）

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立e問題的運(yùn)用。

（1）由于導(dǎo)數(shù)值表示的就是曲線在該點(diǎn)的斜率，那么利用點(diǎn)的坐標(biāo)好斜率，得到切線方程的問題。

（2）要是不等式恒成立，則需要求解函數(shù)f(x)的最大值即可，因此需要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論研究其最值。

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，（2分）

，，（4分）

又，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：

，即：．（6分）

（Ⅱ）由得

①當(dāng)時(shí)

，，∴在上遞減，

∴，∴，此時(shí)不存在；（ 8分）

②當(dāng)時(shí)

若時(shí)，由①得在上遞減，

∴，此時(shí)（9分）

若時(shí)

令得，又在遞增，故

∴，當(dāng)時(shí),∴在遞增，（12分）

∴

，，∴，（13分）

又， ∴

綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍（15分）