Question

3．已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關于x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的圖象關于x=1對稱和奇函數(shù)的性質求出函數(shù)的周期，結合條件和函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性，求出f（0）、f（1）、f（2、+f（3）的值，再利用函數(shù)的周期性求出式子的和．

解答 解：∵f（x）的圖象關于x=1對稱，∴f（2-x）=f（x），
∵函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，∴f（x）=f[-（x-2）]=-f（x-2），
則f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是4，
∵x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1，
∴f（0）=0，f（1）=1，f（4）=f（0）=0，f（2）=f（0）=0，f（3）=-f（1）=-1，
則f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×0+f（0）+f（1）=1，
故答案為：1．

點評 本題考查函數(shù)的周期、奇偶性、對稱性的綜合應用，以及轉化思想，屬于中檔題．