Question

8．已知P是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上任意一點，過橢圓的右頂點A和上頂點B分別作x軸和y軸的垂線，兩垂線交于點C，過P作AC，BC的平行線交BC于點M，交AC于點N，交AB于點D，E，矩形PMCN的面積是S₁，三角形PDE的面積是S₂，則$\frac{{2{S_1}}}{S_2}$=（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 確定AB的方程，求出S_△ADN、S_ACME．利用P（x，y）在橢圓上可知S₁=S₂，從而可得結論．

解答 解：設P（x，y）在第一象限，則AB的方程為$\frac{x}{5}$+$\frac{y}{3}$=1，
∴D（5-$\frac{5y}{3}$，y），E（x，3-$\frac{3x}{5}$），
∴S_△ADN=$\frac{1}{2}$×$y×\frac{5y}{3}$=$\frac{5{y}^{2}}{6}$，
∴S_ACME=$\frac{1}{2}×$（$\frac{3x}{5}+3$）×（5-x）=$\frac{3}{10}$（25-x²），
∵P（x，y）在橢圓上，∴$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，
∴y²=9-$\frac{9{x}^{2}}{25}$，
∴$\frac{5{y}^{2}}{6}$=$\frac{3}{10}$（25-x²），
∴S_△ADN=S_ACME，
∴S₁=S₂，
∴$\frac{{2{S_1}}}{S_2}$=2．
故選A．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查面積的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．