Question

15．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC，AB⊥AC，求證：A₁C⊥BC₁．

Answer 1

分析 連接AC₁，根據(jù)AA₁=AC可得到A₁C⊥AC₁，而根據(jù)線面垂直的判定定理AB⊥平面ACC₁A₁，從而得到A₁C⊥AB，所以根據(jù)線面垂直的判定定理可得到A₁C⊥平面ABC₁，所以A₁C⊥BC₁．

解答 證明：如圖，連接AC₁；
AA₁=AC；
∴四邊形ACC₁A₁是菱形；
∴A₁C⊥AC₁；
AA₁⊥底面ABC，AB?底面ABC；
∴AA₁⊥AB，即AB⊥AA₁；
又AB⊥AC；C₁A₁
∴AB⊥平面ACC₁A₁，A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C，即A₁C⊥AB，AB∩AC₁=A；
∴A₁C⊥平面ABC₁，BC₁?平面ABC₁；
∴A₁C⊥BC₁．

點(diǎn)評(píng) 考查要證明線線垂直可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，以及菱形的定義，菱形對(duì)角線的特點(diǎn)，直棱柱的側(cè)棱和底面的關(guān)系，線面垂直的判定定理．