Question

設(shè)函數(shù) 

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；

(2)令，（）其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的極大值為，此即為最大值

(2) ≥

(3)

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，以及運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來表示切線斜率，并能解決不等式的恒成立問題。和方程解的函數(shù)與方程思想的綜合能力。

解: （1）依題意，知的定義域為（0，+∞），

當(dāng)時，，

……………2分

令=0，解得．（∵）

因為有唯一解，所以，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減。

所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分

(2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，             

當(dāng)時，取得最大值，所以≥………8分

(3)因為方程有唯一實數(shù)解，

所以有唯一實數(shù)解，

設(shè)，

則．令，．  

因為，，所以（舍去），，

當(dāng)時，，在（0，）上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，在（，+∞）單調(diào)遞增

當(dāng)時，=0，取最小值．

則既……………10分

所以，因為，所以（*）

設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)時，

是增函數(shù)，所以至多有一解．

因為，所以方程（*）的解為，即，解得