Question

高一某班研究性小組成員為了測量永嘉中學旗桿高度收集了如下數(shù)據(jù)：（如圖）在B點測得∠ABE=θ，前進30米至C點處，測得∠ACE=2θ，再繼續(xù)前進10

3

米至點D處，測得∠ADE=4θ，則θ的大小為

π

12

，旗桿AE的高度為

15

米．

Answer 1

分析：由題意及仰角的定義，利用數(shù)形結合的思想，利用圖形中角與角的聯(lián)系及三角形求解即可．

解答：解：由已知BC=30米，CD=10

3

米，∠ABE=θ，
∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABCE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴

BC

DC

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot2θ)

，
即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

30

10 3

=

3

，
而cotθ-cot2θ=

cotθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

sin2θcosθ-cos2θsinθ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

．
同理可得cot2θ-cot4θ=

1

sin4θ

．

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

sin4θ

cos2θ

=2cos2θ=

3

，
∴cos2θ=

3

2

，結合題意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15（米）．
故答案為：

π

12

；15．

點評：本題以實際問題為載體，考查了學生會從題意中抽取出圖形進而分析問題，還考查了學生們利用三角形解出三角形的邊與角，及二倍角的正切公式．