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△ABC 的內(nèi)心為I，三角形內(nèi)一點P 滿足 ∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB．求證， AP≥AI，而且等號當(dāng)且僅當(dāng)P=I 時成立．

證明：∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=∠IBC+∠ICB，故∠PBI=∠PCI，從而

P，B，C，I 四點共圓．但由內(nèi)外角平分線相垂直知 B，C，I 與 BC 邊上的旁切圓心T 共圓，且IT 是這個圓的直徑，IT 的中點O為圓心．由于A，I，T 共線(∠BAC 的平分線)，且 P在圓周上，AP+PO≥AO=AI+IO ， PO=IO，故AP≥AI．

等號當(dāng)且僅當(dāng)P 為線段AO與圓周的交點即P=I 時成立．

練習(xí)冊系列答案
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如圖所示,銳角三角形ABC的內(nèi)心為I,過點A作直線BI的垂線,垂足為H,點E為圓I與邊CA的切點.

(1)求證A,I,H,E四點共圓;

(2)若∠C=50°,求∠IEH的度數(shù).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河南鄭州高三第一次質(zhì)量預(yù)測理數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

選修4—1：幾何證明選講如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點.

（Ⅰ）求證：四點Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圓；

（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度數(shù).

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河南鄭州高三第一次質(zhì)量預(yù)測文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

選修4—1：幾何證明選講

如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點.

（Ⅰ）求證：四點Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圓；

（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度數(shù).

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河南省鎮(zhèn)平一高高三下學(xué)期第四次周考文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

(本小題滿分10分)選修4－1：幾何證明選講

如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點.

(Ⅰ)求證：四點A，I，H，E共圓；

(Ⅱ)若∠C＝50°，求∠IEH的度數(shù).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點.

（Ⅰ）求證：四點Ａ，Ｉ，Ｈ，Ｅ共圓；

（Ⅱ）若∠C=，求∠IEH的度數(shù).

 

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