Question

隨機(jī)抽取某中學(xué)高一級(jí)學(xué)生的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)測(cè)成績(jī)得到一樣本，其分組區(qū)間和頻數(shù)是：[50，60），2；[60，70），7；[70，80），10；[80，90），x；[90，100]，2．其頻率分布直方圖受到破壞，可見(jiàn)部分如圖所示，據(jù)此解答如下問(wèn)題．
（1）求樣本的人數(shù)及x的值；
（2）估計(jì)樣本的眾數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高；
（3）從成績(jī)不低于80分的樣本中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上（含90分）的人數(shù)記為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由已知條件求出分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)和頻率，由此能求出樣本人數(shù)和x的值．
（2）從分組區(qū)間和頻數(shù)可知，樣本眾數(shù)的估計(jì)值為75．求出分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的頻數(shù)和頻率，由此能求出頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高．
（3）由已知條件得到ξ的取值為0，1，2，分別求出相對(duì)應(yīng)的分布列，由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿(mǎn)分13分）
解：（1）由題意得，分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為2，
頻率為0.008×10=0.08，（1分）
∴樣本人數(shù)為n=

2

0.08

=25（人），（2分）
∴x的值為x=25-（2+7+10+2）=4（人）．（4分）
（2）從分組區(qū)間和頻數(shù)可知，樣本眾數(shù)的估計(jì)值為75．（6分）
由（1）知分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的頻數(shù)為4，頻率為

4

25

=0.16（7分）
∴頻率分布直方圖中[80，90）的矩形的高為

0.16

10

=0.016（8分）
（3）成績(jī)不低于80分的樣本人數(shù)為4+2=6（人），
成績(jī)?cè)?（0分）以上（含90分）的人數(shù)為2人，
∴ξ的取值為0，1，2．（9分）
∵P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

，
P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，
P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P（ξ）	6 15	8 15	1 15

（11分）
∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

6

15

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期限，是中檔題，解題時(shí)要排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．