Question

【題目】若函數(shù)f（x）=lnx﹣x﹣mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[﹣1, ﹣1）∪{ ﹣1}
【解析】解：函數(shù)f（x）=lnx﹣x﹣mx在區(qū)間[1，e2]內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，

得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m= ﹣1，

要使方程lnx﹣x﹣mx=0在區(qū)間[1，e2]上有唯一實(shí)數(shù)解，

只需m= ﹣1有唯一實(shí)數(shù)解，

令g（x）= ﹣1，（x＞0），∴g′（x）= ，

由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，

∴g（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，在區(qū)間[e，e2]上是減函數(shù)．

g（1）=﹣1，g（e）= ﹣1，g（e2）= ﹣1，

故﹣1≤m＜ ﹣1或m= ﹣1

所以答案是：[﹣1， ﹣1）∪{ ﹣1}．

【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值；二次函數(shù)的零點(diǎn)：（1）△＞0，方程 有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);（2）△＝0，方程 有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn);（3）△＜0，方程 無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．