Question

如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l：x=-1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且，
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，
（1）已知，求λ₁+λ₂的值；
（2）求的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則Q（-1，y），
由得：(x+1，0)·(2，-y)=(x-1，y)·(-2，y)，
化簡(jiǎn)得C：y²=4x。
（Ⅱ）（1）設(shè)直線AB的方程為：x=my+1(m≠0)，
設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
又M（-1，-），
聯(lián)立方程組，消去x得：y²-4my-4=0，
△=(-4m)²+12＞0，
，
由，得，
整理得，
∴。
（2）=（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|
=(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)|+y_M²|
=(1+m²)|-4+×4m+|
==4(2+m²+)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為16。