Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片中，，。沿它的對(duì)角線(xiàn)把△折起，使點(diǎn)到達(dá)平面外點(diǎn)的位置。

（Ⅰ）△折起的過(guò)程中，判斷平面與平面的位置關(guān)系，并給出證明；

（Ⅱ）當(dāng)△為等腰三角形，求此時(shí)二面角的大小。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）平面平面…………1分

證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208410114067516/SYS201205220842285781123661_DA.files/image003.png">，，所以，。

因?yàn)檎郫B過(guò)程中，，所以，又，故平面。

又平面，所以平面平面�！�………5分

（Ⅱ）解法一：如圖，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)，�！�………6分

 

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208410114067516/SYS201205220842285781123661_DA.files/image020.png">，，，，所以為正方形，。

由于，都與平面垂直，所以，可知。

因此只有時(shí)，△為等腰三角形�！�……………8分

在△中，，

又，所以△為等邊三角形，�！�……………10分

由（Ⅰ）可知，，所以為二面角的平面角，即二面角的大為�！�………12

解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，�！�……………6分

 

 

由（Ⅰ）可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則有。      ①

因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052208410114067516/SYS201205220842285781123661_DA.files/image032.png">為等腰三角形，

所以或�！�……………8分

若，則有。

則此得，，不合題意。

若，則有。      ②

聯(lián)立①和②得，。故點(diǎn)的坐標(biāo)為。

由于，，所以與夾角的大小等于二面角的大小。

又，，

所以，即二面角的大小為。

【解析】略