Question

（2006•南匯區(qū)二模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E為BB₁的中點，D點在AB上且DE=

3

．
（Ⅰ）求證：CD⊥面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求二面角C-A₁E-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別以CA、CB、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，標出所用點的坐標，求出面A₁ABB₁內(nèi)兩個不共線的向量的坐標，求出向量

CD

的坐標，由向量數(shù)量積等于0得到線線垂直，從而得到線面垂直；
（Ⅱ）求二面角C-A₁E-D的兩個半平面所在平面的法向量，由法向量所成的角求解二面角的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：分別以CA、CB、CC₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
在Rt△EBD中，∵BE=1，DE=

3

，∴BD=

2

，∴D為AB中點，∴D（1，1，0），
∴

AB

=(-2，2，0)，

AA1

=(0，0，2)，

CD

=(1，1，0)，

A1E

=(-2，2，-1)，

CE

=(0，2，1)，

ED

=(1，-1，-1)．
由

CD

•

AB

=1×(-2)+1×2+0×0=0，可得CD⊥AB，

CD

•

AA1

=1×0+1×0+0×2=0，可得CD⊥AA₁，
∵AB∩AA₁=A，∴CD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：設平面A₁EC的法向量為

m

=(x，y，z)，
由

m • CE =0 m • A1E =0

，得

2y+z=0 -2x+2y-z=0

，取z=2，得y=-1，x=-2．
∴

m

=(-2，-1，2)．
設平面A₁ED的法向量為

n

=(x，y，z)，
由

n • A1E =0 n • ED =0

，得

-2x+2y-z=0 x-y-z=0

，取y=1，得x=1，z=0．
∴

n

=(1，1，0)．
設向量

m

，

n

所成的角為α，則cosα=

m • n

| m |•| n |

=

-2×1+(-1)×1

3 2

=-

2

2

，
∴α=

3π

4

．
故所求二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，借助于空間向量求解二面角的大小能使抽象的空間問題代數(shù)化，解答的關鍵是空間坐標系的正確建立，考查了學生的計算能力，是中檔題．