Question

正三棱錐P-ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（ ）
A．1：3
B．1：
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它的對(duì)角線的長(zhǎng)度，就是球的直徑，求出正三棱錐的外接球半徑；再利用三棱錐的體積的兩種求法，列出關(guān)于該正三棱錐的內(nèi)切球的半徑的等式，求出內(nèi)切球的半徑，最后求得內(nèi)切球與外接球的半徑之比即可．
解答：解：三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它的對(duì)角線的長(zhǎng)度，就是球的直徑，
設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為a，則
它的對(duì)角線的長(zhǎng)度為：a
球的半徑為：，
再設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，
根據(jù)三棱錐的體積的兩種求法，得
=[×3+]×r，
∴r=，
∴該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為=．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，內(nèi)切球、外接球的知識(shí)，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．