Question

14．若函數(shù)f（x）=a^x-b（a＞0，且a≠1，b∈R）的定義域和值域都是[-1，1]，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 對(duì)a進(jìn)行分類討論，分別題意和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出方程組，解得答案．

解答 解：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x-b在定義域上是增函數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-b=1\\ \frac{1}{a}-b=-1\end{array}\right.$，
解得b=$\sqrt{2}$，a=1+$\sqrt{2}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x-b在定義域上是減函數(shù)，
所以$\left\{\begin{array}{l}a-b=-1\\ \frac{1}{a}-b=1\end{array}\right.$，
解得b=$\sqrt{2}$，a=-1+$\sqrt{2}$，
故$f（x）=（1+\sqrt{2}）^{x}-\sqrt{2}$，或$f（x）={（-1+\sqrt{2}）}^{x}-\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及分類討論思想，屬于中檔題．