Question

13．如圖，摩天輪的半徑OA為50m，它的最低點(diǎn)A距地面的高度忽略不計(jì)．地面上有一長度為240m的景觀帶MN，它與摩天輪在同一豎直平面內(nèi)，且AM=60m．點(diǎn)P從最低點(diǎn)A處按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到最高點(diǎn)B處，記∠AOP=θ，θ∈（0，π）．

（1）當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$ 時(shí)，求點(diǎn)P距地面的高度PQ；
（2）試確定θ 的值，使得∠MPN取得最大值．

Answer 1

分析 （1）將所求的高度、已知的角與線段長度放在一個(gè)三角形中結(jié)合三角函數(shù)的定義求解即可；
（2）借助于角θ，把∠MPN表示出來，然后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由題意得PQ=50-50cosθ，
從而當(dāng)$θ=\frac{2}{3}π$時(shí)，PQ=50-50cos$\frac{2}{3}π$=75．
即點(diǎn)P距地面的高度為75米．
（2）由題意得，AQ=50sinθ，從而MQ=60-50sinθ，NQ=300-50sinθ．
又PQ=50-50cosθ，所以tan$∠NPQ=\frac{NQ}{PQ}=\frac{6-sinθ}{1-cosθ}$，tan$∠MPQ=\frac{MQ}{PQ}=\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}$．
從而tan∠MPN=tan（∠NPQ-∠MPQ）=$\frac{tan∠NPQ-tan∠MPQ}{1+tan∠NPQ•tan∠MPQ}$
=$\frac{\frac{6-sinθ}{1-cosθ}-\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}}{1+\frac{6-sinθ}{1-cosθ}×\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}}=\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．
令g（θ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．θ∈（0，π）
則$g′（θ）=\frac{12×18（sinθ+cosθ-1）}{（23-18sinθ-5cosθ）^{2}}$，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ-1=0，解得$θ=\frac{π}{2}$．
當(dāng)$θ∈（0，\frac{π}{2}）$時(shí)，g′（θ）＞0，g（θ）為增函數(shù)；當(dāng)x$∈（\frac{π}{2}，π）$時(shí)，g′（θ）＜0，g（θ）為減函數(shù)．
所以當(dāng)θ=$\frac{π}{2}$時(shí)，g（θ）有極大值，也是最大值．
因?yàn)?0＜∠MPQ＜∠NPQ＜\frac{π}{2}$．所以$0＜∠MNP＜\frac{π}{2}$．
從而當(dāng)g（θ）=tan∠MNP取得最大值時(shí)，∠MPN取得最大值．
即當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，∠MPN取得最大值．

點(diǎn)評 本題考查了與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，主要還是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求其極值、最值．