Question

已知A

cosα，sinα

．B

cosβ，sinβ

，其中α、β為銳角，且|AB|=

10

5

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若tan

α

2

=

1

2

，求cosα及cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量模的公式建立關(guān)于α、β的等式，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系算出cosα•cosβ+sinα•sinβ=

4

5

，進而可得cos（α-β）的值；
（2）利用二倍角的余弦公式與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，算出cosα=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

3

5

，從而得出sinα=

4

5

，再進行配角：β=α-（α-β），由兩角差的余弦公式加以計算，即可得到cosβ的值．

解答：解：（1）∵A

cosα，sinα

，B

cosβ，sinβ

，|AB|=

10

5

，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

10

5

，
平方整理，得2-2(cosα•cosβ+sinα•sinβ)=

2

5

，
解得cosα•cosβ+sinα•sinβ=

4

5

因此，cos(α-β)=

4

5

；
（2）∵tan

α

2

=

1

2

，
∴cosα=cos2

α

2

-sin2

α

2

=

cos2 α 2 -sin2 α 2

cos2 α 2 +sin2 α 2

=

1-tan2 α 2

1+tan2 α 2

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

．
∵α為銳角，∴sinα=

1-cos 2α

=

4

5

，
又∵α-β∈（-

π

2

，

π

2

），∴sin(α-β)=±

-cos2(α-β)

=±

3

5

，
①當(dāng)sin(α-β)=

3

5

時，cosβ=cos[α-(α-β)]=cosα•cos(α-β)+sinα•sin(α-β)=

24

25

．
②當(dāng)sin(α-β)=-

3

5

時，cosβ=cos[α-（α-β）]=cosα•cos（α-β）+sinα•sin（α-β）=0．
又∵β為銳角，
∴cosβ=0不符合題意，舍去．
因此可得cosβ的值為

24

25

．

點評：本題著重考查了向量模的計算公式、兩角和與差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與二倍角的三角函數(shù)公式等知識，屬于中檔題．