Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并指出在各個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？（不必證明）
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先判斷函數(shù)f（x）的定義域是對(duì)稱(chēng)的，再根據(jù)偶函數(shù)的定義驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系，再進(jìn)行描點(diǎn)畫(huà)圖；
（2）根據(jù)（1）畫(huà)出的圖象，可以求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）分兩種情況：x≥0和x＜0，結(jié)合函數(shù)的增減性，可以求出其值域；
解答：（1）證明  f（-x）=（-x）2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f（x），
即f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2，
即f（x）=，
根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖所示．
（2）解：函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間為[-3，-1），[-1，0），[0，1），[1，3]．
f（x）在區(qū)間[-3，-1）和[0，1）上為減函數(shù)，在[-1，0），[1，3]上為增函數(shù)．（9分）
（3）解：當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）2-2的最小值為-2，最大值為f（3）=2；
當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=（x+1）2-2的最小值為-2，最大值為f（-3）=2；
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的畫(huà)法，題有三問(wèn)，看似比較復(fù)雜，只要畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象后就會(huì)比較容易求解了；