Question

（08年東北師大附中理）（12分）

  如圖，已知正四棱錐中，2，M是側(cè)面上到的最短路線與的交點(diǎn).

（Ⅰ）證明：∥面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

解析：（Ⅰ）證明：∵和是全等的正三角形，∴為的中點(diǎn).

又四棱錐P-ABCD為正四棱錐，∴、的交點(diǎn)為中點(diǎn)，

∴∥，∵平面，且平面，

∴∥面.…………………………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則點(diǎn)為中點(diǎn)，且面，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，則就是二面角的平面角．

經(jīng)計(jì)算可得，，∴，

且，∴．

∴。故二面角的大小為．

                                     …………………………………………12分

 

     解法二：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)平面的法向量為，

則=，

，∴.

∴，取，則.

又平面的法向量為，

而，

故二面角的大小為.……………………………12分