Question

17．冪函數(shù)y=x^a，當(dāng)a取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上它們的圖象是一組美麗的曲線（如圖），設(shè)點(diǎn)A（1，0），B（0，1），連結(jié)AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=x^a，y=x^b的圖象三等分，即有BM=MN=NA，那么a-$\frac{1}$=（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 先根據(jù)題意結(jié)合圖形確定M、N的坐標(biāo)，然后分別代入y=x^a，y=x^b求得a，b；最后再求a-$\frac{1}$的值即得．

解答 解：BM=MN=NA，點(diǎn)A（1，0），B（0，1），
所以M （$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），N （$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
分別代入y=x^a，y=x^b，a=${log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}$，b=${log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}$，
∴a-$\frac{1}$=${log}_{\frac{2}{3}}^{\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{{log}_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}}$=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，冪函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．