Question

已知e₁、e₂是任意的兩個向量，給出下列四個命題：
①若e₁與e₂共線，則e₁+e₂與e₁-e₂共線；
②若e₁與e₂不共線，則e₁+e₂與e₁-e₂不共線；
③若e₁+e₂與e₁-e₂共線，則e₁與e₂共線；
④若e₁+e₂與e₁-e₂不共線，則e₁與e₂不共線．

在以上四個命題中，正確的命題有

1. A.
   ①、②、③
2. B.
   ①、②、④
3. C.
   ①、③、④
4. D.
   ①、②、③、④

Answer 1

D
結(jié)論①的正確性：如果e₁＝e₂＝0，那么e₁+e₂與e₁-e₂共線．如果e₁、e₂至少有一個不是零向量，不妨設e₁≠0，那么，由e₁與e₂共線可知，e₂＝λe₁(λ∈R)，于是e₁+e₂＝(1+λ)e₁與e₁共線，e₁-e₂＝(1-λ)e₁與e₁共線，所以e₁+e₂與e₁-e₂共線．結(jié)論②的正確性：e₁-e₂≠0是成立的，否則e₁＝e₂與已知的e₁與e₂不共線相矛盾．假設e₁+e₂與e₁-e₂共線，則e₁+e₂＝k(e₁-e₂)(k∈R)，于是(1-k)e₁+(1+k)e₂＝0，這樣就出現(xiàn)了k＝1和k＝-1的矛盾，所以e₁+e₂與e₁-e₂不共線．結(jié)論③的正確性：如果e₁、e₂至少有一個是零向量，那么e₁+e₂與e₁-e₂共線和e₁與e₂共線都成立．如果e₁≠0，且e₂≠0，那么e₁+e₂、e₁-e₂至少有一個不為0，不妨設e₁-e₂≠0，這時，由e₁+e₂與e₁-e₂共線可知，e₁+e₂＝m(e₁-e₂)(m∈R)，即(1-m)e₁+(1+m)e₂＝0．假設e₁與e₂不共線，則m＝1，m＝-1，這與m的存在性是矛盾的，所以，e₁與e₂共線．結(jié)論④的正確性：假設e₁與e₂共線，則e₁與e₂可劃分為兩類，即e₁與e₂至少有一個是0；或e₁≠0，e₂≠0，且e₁與e₂共線．若e₁與e₂至少有一個是0，則e₁+e₂、e₁-e₂共線，這與已知是矛盾的．若e₁≠0,e₂≠0,且e₁與e₂共線，則e₁＝ne₂(n∈R)，這時，e₁+e₂＝(n+1)e₂與e₂共線，e₁-e₂＝(n-1)e₂與e₂共線，所以，e₁+e₂與e₁-e₂共線，這與已知也是矛盾的．綜上，結(jié)論①、②、③、④都是正確的．