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已知a＞0,函數(shù)f(x)=x3-a,x∈(0,+∞).設(shè)x1＞0,記曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線為l.

(1)求l的方程.

(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為(x2,0),證明①x2≥;②若x1＞,則＜x2＜x1.

思路分析:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及證明不等式的基本方法求解.

(1)解:f′(x)=3x2,由此得切線l的方程為y-(x13-a)=3x12(x-x1).

(2)證明:依題意,切線方程中令y=0,x2=x1-.

①x2-=(2x13+a-3x12)=(x1-)(2x12+x1-)≥0,

∴x2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x1=時(shí)等號(hào)成立.

說(shuō)明:當(dāng)0＜x1＜時(shí),x1-＜0,2x12-x1-＜0,∴x2-＞0;

當(dāng)x1＞時(shí),x1-＞0,2x12-x1-＞0,∴x2-＞0;

當(dāng)x1=時(shí),x1-=0,2x12-x1-=0,∴x2-=0.綜上所述,當(dāng)x1＞0時(shí),x2≥.

②若x1＞,則x13-a＞0,x2-x1=＜0,且由①知當(dāng)x1＞時(shí),x2＞,

∴＜x2＜x1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知a＞0,函數(shù)f(x)=ax-bx2.

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(C)?x∈R,f(x)≤f(x0) (D)?x∈R,f(x)≥f(x0)

 

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已知a＞0,函數(shù)f(x)=  +ax在［1,+∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(     )

A. a≥1         B. 0＜a≤2     C. 0＜a≤3        D. 1≤a≤3

 

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