Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=na_n+n（n=1，2，3，…），等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，且b₂，b₃的等差中項為b₁．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
（2）請選擇一個符合已知條件的且滿足a₁≠a₂的數(shù)列{a_n}，并求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1可得a₁=S₁，由條件可得a₁=1，再將n換為n-1，相減，運用等差數(shù)列的性質，即可得證；
（2）取a₂=2，則d=1，即有a_n=n，由等差數(shù)列的性質和等比數(shù)列的通項，可得公比q=1或-2，再由錯位相減法和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 （1）證明：由n=1可得a₁=S₁，
2S₁=a₁+1，可得a₁=1，
2S_n=na_n+n，可得2S_n-1=（n-1）a_n-1+n-1，（n≥2），
相減可得，2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+1，
即有（n-2）a_n=（n-1）a_n-1-1，
再將n換為n-1可得（n-3）a_n-1=（n-2）a_n-2-1，
上面兩式相減可得，（n-2）a_n+（n-2）a_n-2=2（n-2）a_n-1，
即為a_n+a_n-2=2a_n-1，（n＞2），
即有a_n-a_n-1=d（d為常數(shù)），
故數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）解：可取a₂=2，則d=1，
即有a_n=n，
由b₁=a₁，且b₂，b₃的等差中項為b₁．
可得2b₁=b₂+b₃，即為2=q+q²，（q為公比），
解得q=-2或1．
當q=1時，b_n=1，
前n項和T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
當q=-2，即有T_n=1•（-2）⁰+2•（-2）+3•（-2）²+…+n•（-2）^n-1，
-2T_n=1•（-2）+2•（-2）²+3•（-2）³+…+n•（-2）ⁿ，
兩式相減可得，3T_n=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ
=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$-n•（-2）ⁿ，
化簡可得，T_n=$\frac{1-（1+3n）•（-2）^{n}}{9}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和之間的關系，考查等差數(shù)列的定義和通項和求和公式的運用，同時考查等比數(shù)列的求和公式的運用，以及錯位相減法求和，屬于中檔題．