Question

6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x²+$\frac{y^2}{2}$=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為-$\sqrt{2}$的直線l與C交與A、B兩點(diǎn)，四邊形OAPB為平行四邊形．
（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在橢圓C上；
（Ⅱ）求四邊形OAPB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知F（0，1），直線l的方程為$y=-\sqrt{2}x+1$，代入${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$，得$4{x^2}-2\sqrt{2}x-1=0$，由平行四邊形性質(zhì)得$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，由此能證明點(diǎn)P在橢圓C上．
（Ⅱ）由已知求出|AB|和原點(diǎn)O到直線l：$y=-\sqrt{2}x+1$的距離，由此能求出四邊形OAPB的面積．

解答 證明：（Ⅰ）∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C：x²+$\frac{y^2}{2}$=1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，
∴F（0，1），直線l的方程為$y=-\sqrt{2}x+1$，代入${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$
并化簡(jiǎn)得$4{x^2}-2\sqrt{2}x-1=0$，…2分
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
∵四邊形OAPB為平行四邊形，∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，…3分
可得（x₃，y₃）=（x₁，y₁）+（x₂，y₂）
∴${x_3}={x_1}+{x_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，${y_3}={y_1}+{y_2}=-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+2=1$，故$P（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$…5分
經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)P的坐標(biāo)$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$滿足方程${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$，
故點(diǎn)P在橢圓C上．…6分
解：（Ⅱ）∵$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3}\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}-4（-\frac{1}{4}）}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$…8分
原點(diǎn)O到直線l：$y=-\sqrt{2}x+1$的距離 $d=\frac{1}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…10分
∴四邊形OAPB的面積：
$S=2{S_{△OAB}}=|{AB}|•d=\frac{3}{2}\sqrt{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)在橢圓上的證明，考查四邊形面積的求法，解題時(shí)要注意圓錐曲線、橢圓性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用，是中檔題．