Question

19．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f（x）=x²，當x＞0時，f（x+1）=f（x）+f（1），若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有11個不同的公共點，則實數(shù)k的取值范圍為（$2\sqrt{6}-4$，$4\sqrt{3}-6$）．

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，根據(jù)交點個數(shù)判斷直線的臨界位置．根據(jù)導數(shù)與切線的關系列出方程解出．

解答 解：當2≤x≤3時，f（x）=（x-2）²+2，當3≤x≤4時，f（x）=（x-3）²+3，作出f（x）在[0，4]上的函數(shù)圖象如圖，
設y=k₁x與f（x）在[2，3]上的圖象相切于（x₁，y₁），y=k₂x與f（x）在[3，4]上的圖象相切于（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}-4={k}_{1}}\\{{（x}_{1}-2）^{2}+2={y}_{1}}\\{{k}_{1}{x}_{1}={y}_{1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}-6={k}_{2}}\\{（{x}_{2}-3）^{2}+3={y}_{2}}\\{{k}_{2}{x}_{2}={y}_{2}}\end{array}\right.$，解得k₁=2$\sqrt{6}$-4，k₂=4$\sqrt{3}$-6．
由函數(shù)的對稱性可知，若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象恰有11個不同的公共點，
則k₁＜k＜k₂．
故答案為（$2\sqrt{6}-4$，$4\sqrt{3}-6$）．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象變換，導數(shù)與切線的關系，圖象的交點個數(shù)與零點的關系，屬于中檔題．作出函數(shù)圖象是關鍵．