Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=m，a_n+1=λa_n+μa_n-1（n≥2）。
（1）若m=2，λ=2，μ=-1，求a_n；
（2）接（1），設(shè)S_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，探討S_n與T_n大小，并予以證明；
（3）若m=0，λ=1，μ=1基于事實(shí)：如果d是a與b的公約數(shù)，那么d必定是a-b的約數(shù)，問是否存在正整數(shù)k和n，使得ka_n+2+a_n與ka_n+3+a_n+1有大于1的公約數(shù)，如果存在求出k和n，如果不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1），
∴，
∴，
且，
∴a_n=n；
（2），
∴只需比較n+1和2ⁿ-1的大小，即比較n+2與2ⁿ的大小，
當(dāng)n=1時(shí)，S_n<T_n；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k，n使得ka_n+2+a_n與ka_n+3+a_n+1有大于1的公約數(shù)d，
則d也是即的約數(shù)，
依題設(shè)有，
∴d是的約數(shù)，
從而d是與的公約數(shù)同理可得d是的約數(shù)依次類推，d是與的約數(shù)，
，
故，
于是，
又∵
從而d是k與1的約數(shù)，即d為1的約數(shù)，這與d>1矛盾；
故不存在k，n使與有大于1的公約數(shù)。