Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P―ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

（1）證明PA⊥平面ABCD；

（2）已知點E在PD上，且PE:ED=2:1，點F為棱PC的中點，證明BF//平面AEC。

（3）求四面體FACD的體積.

Answer 1

證明：（I）因為在正方形ABCD中，AC=2

∴AB=AD=

可得：在△PAB中，PA²+AB²=PB²=6。

所以PA⊥AB

同理可證PA⊥AD

故PA⊥平面ABCD

   （II）取PE中點M，連接FM，BM，連接BD交AC于O，連接OE

                                      

∵F，M分別是PC，PF的中點，

∴FM∥CE，

又FM面AEC，CE面AEC

∴FM∥面AEC

又E是DM的中點

OE∥BM，OE面AEC，BM面AEC

∴BM∥面AEC且BM∩FM=M

∴平面BFM∥平面ACE

又BF平面BFM，∴BF∥平面ACE

   （3）連接FO，則FO∥PA，因為PA⊥平面ABCD，則FO⊥平面ABCD，所以FO=1，

S_ACD=1，

    ∴V_FACD=V_F――ACD=