Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x²＋y²－4x＋1＝0，求：

(1)y－x的最大值和最小值；

(2)x²＋y²的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：由于方程x2＋y2－4x＋1＝0表示圓，而由y－x可聯(lián)想到直線(xiàn)方程，由x2＋y2可聯(lián)想到平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，因此可將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解． 　　解：原方程變形為(x－2)2＋y2＝3，表示以C(2，0)為圓心，半徑長(zhǎng)r＝的圓． 　　(1)設(shè)y－x＝b，其中(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝3上，則當(dāng)直線(xiàn)x－y＋b＝0與圓相切時(shí)，b取得最值． 　　由＝，解得b＝－2±． 　　所以y－x的最大值為－2，最小值為－2－． 　　(2)設(shè)d＝，其中(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝3上，則d表示原點(diǎn)O與該圓上的點(diǎn)(x，y)的距離． 　　因?yàn)閨OC|＝2，所以dmax＝2＋，dmin＝2－ 　　所以x2＋y2的最大值為(2＋)2＝7＋4，最小值為(2－)2＝7－4． 　　點(diǎn)評(píng)：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常與圓心、半徑、切線(xiàn)長(zhǎng)有關(guān)，可借助圖形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為平面幾何知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．形如t＝ax＋by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為斜率為定值的動(dòng)直線(xiàn)的截距的最值問(wèn)題；形如d2＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為與定點(diǎn)(a，b)的距離有關(guān)的最值問(wèn)題；形如u＝的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)(a，b)的動(dòng)直線(xiàn)的斜率的最值問(wèn)題．